Question

在直角坐標系xOy中，點M，點F為拋物線C：y＝mx2(m＞0)的焦點，線段MF恰被拋物線C平分．

(1)求m的值；

(2)過點M作直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA，F(xiàn)M，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2，k3，問k1，k2，k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)由題得拋物線C的焦點F的坐標為，線段MF的中點

N在拋物線C上，

∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，

∴m＝(m＝－舍去)．

(2)由(1)知拋物線C：x2＝4y，F(xiàn)(0,1)．

設(shè)直線l的方程為y＋＝k(x－2)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得x2－4kx＋8k＋2＝0，

Δ＝16k2－4(8k＋2)＞0，

∴

由根與系數(shù)的關(guān)系得

假設(shè)k1，k2，k3能成公差不為零的等差數(shù)列，則k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝

＝，

k2＝＝－，

∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，

解得k＝－(符合題意)或k＝－(不合題意，舍去)．

∴直線l的方程為y＋＝－(x－2)，

即x＋2y－1＝0.

∴k1，k2，k3能成公差不為零的等差數(shù)列，

此時直線l的方程為x＋2y－1＝0.