Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡整理，然后利用正弦函數的性質求得函數的最小正周期．
（II）根據正弦函數的單調性和x的范圍，進而求得函數的最大和最小值．

解答：解：（I）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．
因此，函數f（x）的最小正周期為π．
（II）因為f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為增函數，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數，
又f(

π

8

)=0，f(

3π

8

)=

2

，f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
故函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角差公式、倍角公式、函數y=Asin（ωx+?）的性質等基礎知識，考查基本運算能力．