Question

設(shè)函數(shù)f（x）在（-3，3）上是奇函數(shù)，且對任意x，y都有f（x）-f（y）=f（x-y），當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（2）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

解：（1）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（2）f（x）在（-3，3）上是減函數(shù)．
證明：在（-3，3）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
令x=x₁，y=x₂，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是減函數(shù)．
（3）由函數(shù)f（x）在（-3，3）上是奇函數(shù)，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函數(shù)f（x） 在（-3，3）上是減函數(shù)，
則有，解得0＜x≤2．
∴不等式g（x）≤0的解集為{x|0＜x≤2}．
分析：（1）令x=2，y=1，由f（x）-f（y）=f（x-y）及f（1）=-2即可求得f（2）；
（2）在f（x）-f（y）=f（x-y）中，令x=x₁，y=x₂，結(jié)合已知條件及函數(shù)的單調(diào)性可以作出判斷；
（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)，g（x）≤0可化為f（x-1）-f（2x-3）≤0，也即f（x-1）≤f（2x-3），依據(jù)（2）問的單調(diào)性及函數(shù)定義域可得一不等式組，解出即可．
點評：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及抽象不等式的解法，定義及函數(shù)性質(zhì)是解決抽象函數(shù)問題的主要依據(jù)．