Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈D）同時(shí)滿足以下條件：
①它在定義域D上是單調(diào)函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我們將這樣的函數(shù)稱作“A類函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），求證：f（1）=f（2）；
（2）函數(shù)f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞）是不是“A類函數(shù)”？如果是，試找出[a，b]；如果不是，試說明理由；
（3）求使得函數(shù)f（x）=12x-kx+1，x∈（0，+∞）是“A類函數(shù)”的常數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：創(chuàng)新題型

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式求f（1）與f（2）的值，判斷相等還是不相等．
 （2）根據(jù)f（1）與f（2）值判斷函數(shù)在（0，+∞）不是單調(diào)函數(shù)，即可判斷函數(shù)不是“A類函數(shù)”（3）當(dāng)k＜0時(shí)，在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，所以不是“A類函數(shù)”，
當(dāng)k≥0時(shí)在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，如果是“A類函數(shù)”則f（x）=x在（0，+∞）上有兩個(gè)不等根，構(gòu)造函數(shù)求出k的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），f（1）=0，f（2）=0∴f（1）=f（2）
（2）根據(jù)（1）問可以知道不是單調(diào)函數(shù)，f（x）不是“A類函數(shù)”
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，所以不是“A類函數(shù)”，當(dāng)k≥0時(shí)在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閒（x）是A類函數(shù)，所以方程f（x）=x在（0，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根．
化簡(jiǎn)得：k=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），
令g（x）=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），y=k，據(jù)兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，f（1）=

1

2

所以k的范圍為（0，

1

2

），

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新概念題，做著這道題只要抓住它的兩個(gè)條件，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)就很容易能夠解決．