Question

【題目】已知的頂點(diǎn)， 在橢圓上， 在直線上，且．

（）求橢圓的離心率．

（）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積．

（）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），面積為2；（3）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程得， ， ，由即可得解；

（2）所直線的方程為與橢圓聯(lián)立得， ，原點(diǎn)到直線的距離，從而得面積；

（3）設(shè)所在直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ， ， ， 利用韋達(dá)定理代入求最值即可.

試題解析：

（）將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∴， ， ，

∴橢圓的離心率．

（）∵，且邊通過(guò)點(diǎn)，∴所直線的方程為．

設(shè)， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ．

由，得．

∴．

又∵邊長(zhǎng)的高等于原點(diǎn)到直線的距離，∴，

∴的面積．

（）設(shè)所在直線的方程為，

由，得．

∵， 在橢圓上，∴．

設(shè)， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，則， ，

∴．

又∵的長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即，

∴，

∴當(dāng)時(shí)， 邊最大，且滿足，

此時(shí)所在直線的方程為．