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2.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1F2|F1F2|=22,點(diǎn)A,B在橢圓上,F(xiàn)1在線段AB上,且△ABF2的周長等于43
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過圓O:x2+y2=4上任意一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PM和PN與圓O交于點(diǎn)M,N,求△PMN面積的最大值.

分析 (1)由已知求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)P(xP,yP),則xP2+yP2=4.若兩條切線中有一條切線的斜率不存在,求出P的坐標(biāo),直接求得△PMN面積;若兩條切線的斜率均存在,則xP±3
設(shè)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-yP=k(x-xP),代入橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式等于0得到關(guān)于k的方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得PM⊥PN,求得|MN|,寫出三角形面積,利用基本不等式求得面積最大值.

解答 解:(1)由△ABF2的周長等于43,可得4a=43,a=3
|F1F2|=22,得c=2,∴b2=a2-c2=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x23+y2=1;
(2)設(shè)P(xP,yP),則xP2+yP2=4
①若兩條切線中有一條切線的斜率不存在,則xP=±3,yP=±1.
另一條切線的斜率為0,從而PM⊥PN,此時(shí)SPMN=12|PM||PN|=12×2×23=23
②若兩條切線的斜率均存在,則xP±3
設(shè)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-yP=k(x-xP),代入橢圓方程,消去y并整理得:
(1+3k2)x2+6k(yP-kxP)x+3yPkxP23=0
依題意得△=0,即3xP2k2+2xPyPk+1yp2=0
設(shè)切線PM、PN的斜率分別為k1,k2,從而k1k2=1yP23xP2=xP233xP2=1
∴PM⊥PN,則線段MN為圓O的直徑,|MN|=4.
SPMN=12|PM||PN|14|PM|2+|PN|2=14|MN|2=4
當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=|PN|=22時(shí),△PMN取最大值4.
綜上,△PMN面積的最大值為4.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,屬中檔題.

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