分析 (1)由已知求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)P(xP,yP),則xP2+yP2=4.若兩條切線中有一條切線的斜率不存在,求出P的坐標(biāo),直接求得△PMN面積;若兩條切線的斜率均存在,則xP≠±√3.
設(shè)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-yP=k(x-xP),代入橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式等于0得到關(guān)于k的方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得PM⊥PN,求得|MN|,寫出三角形面積,利用基本不等式求得面積最大值.
解答 解:(1)由△ABF2的周長等于4√3,可得4a=4√3,a=√3.
由|F1F2|=2√2,得c=√2,∴b2=a2-c2=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x23+y2=1;
(2)設(shè)P(xP,yP),則xP2+yP2=4.
①若兩條切線中有一條切線的斜率不存在,則xP=±√3,yP=±1.
另一條切線的斜率為0,從而PM⊥PN,此時(shí)S△PMN=12|PM|•|PN|=12×2×2√3=2√3.
②若兩條切線的斜率均存在,則xP≠±√3.
設(shè)過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為y-yP=k(x-xP),代入橢圓方程,消去y并整理得:
(1+3k2)x2+6k(yP-kxP)x+3(yP−kxP)2−3=0.
依題意得△=0,即(3−xP2)k2+2xPyPk+1−yp2=0.
設(shè)切線PM、PN的斜率分別為k1,k2,從而k1k2=1−yP23−xP2=xP2−33−xP2=−1.
∴PM⊥PN,則線段MN為圓O的直徑,|MN|=4.
∴S△PMN=12|PM|•|PN|≤14(|PM|2+|PN|2)=14|MN|2=4.
當(dāng)且僅當(dāng)|PM|=|PN|=2√2時(shí),△PMN取最大值4.
綜上,△PMN面積的最大值為4.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,屬中檔題.
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A. | f(e)e2>f(e2)e | B. | f(2)9<f(3)4 | C. | f(2)e2>f(e)4 | D. | f(e)e2<f(3)9 |
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A. | |a7|>|a8| | B. | |a7|<|a8| | C. | |a7|=|a8| | D. | |a7|=0 |
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A. | √22 | B. | √2 | C. | 2√2 | D. | 3√22 |
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