Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．P為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁PB；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，AC=2

2

，求三棱錐P-A₁BC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AB₁與A₁B交于點E，則PE∥B₁C，由此能證明B₁C∥平面A₁PB．
（2）由已知得AB⊥BC，AD⊥A₁B．由VP-A1BC=VA1-BCP，利用等積法能求出三棱錐P-A₁BC的體積．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴連接AB₁與A₁B交于點E，∴E為A₁B中點，
連接PE，∵P為AC的中點，∴PE∥B₁C
∵PE?A₁PBB₁C?A₁PB，
∴B₁C∥平面A₁PB．（4分）
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，
AB=BC=2，AC=2

2

，AB²+BC²=AC²
∴AB⊥BC，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∵P為AC的中點，S△BCP=

1

2

S△ABC=1，
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt△ABD中，AD=

3

，AB=BC=2，
sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∠ABD=60°，
在Rt△ABA₁中，AA₁=AB•tan60°=2

3

，
∴VP-A1BC=VA1-BCP=

1

3

S△BCP•A1A=

1

3

×1×2

3

=

2 3

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．