Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-

1

ax

（a＞1），當(dāng)θ∈[0，

π

2

]變化時(shí)，f（msinθ）+f（1-m）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=a^x-

1

ax

（a＞1），
∴f（-x）=a^-x-

1

a-x

=-（a^x-

1

ax

），（a＞1），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)a＞1，f（x）=a^x-

1

ax

單調(diào)遞增，
當(dāng)θ∈[0，

π

2

]變化時(shí)，f（msinθ）+f（1-m）≥0恒成立，
等價(jià)為f（msinθ）≥-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即msinθ≥m-1，
當(dāng)θ=

π

2

，m≥m-1成立，
當(dāng)θ∈[0，

π

2

）時(shí)，m＜

1

1-sinθ

，
則

1

1-sinθ

≥1，∴m≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．