Question

已知函數f（x）=e^x+k•e^-x的最小值為2，（k為常數），函數g（x）=2x-ax³，（a為常數）．
（1）當a=1時，證明：存在x₀∈（0，1）使得y=f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線和y=g（x）的圖象在點（x₀，g（x₀））處的切線平行；
（2）若對任意x∈R不等式f（x）≥g′（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）確定f（x）=e^x+e^-x，求導數，構造h（x）=e^x-e^-x-2+3x²，利用零點存在定理，即可得出結論；
（2）對任意x∈R不等式f（x）≥g′（x）恒成立，即e^x+e^-x≥2-3ax²恒成立，利用x=0時，函數f（x）=e^x+•e^-x的最小值為2，可求a的取值范圍．

解答： （1）證明：∵f（x）=e^x+k•e^-x的最小值為2，
∴k=1，
∴f（x）=e^x+e^-x，∴f′（x）=e^x-e^-x，
∵g（x）=2x-x³，∴g′（x）=2-3x²，
設h（x）=e^x-e^-x-2+3x²，則h（0）=-2，h（1）=e+1-

1

e

，
∴存在x₀∈（0，1）使得y=f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線
和y=g（x）的圖象在點（x₀，g（x₀））處的切線平行；
（2）解：對任意x∈R不等式f（x）≥g′（x）恒成立，即e^x+e^-x≥2-3ax²恒成立，
∵x=0時，函數f（x）=e^x+•e^-x的最小值為2，
∴e^x+e^-x≥2-3ax²恒成立，可得a≤0．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．