Question

已知函數(shù)f（x）=

4ex

ex+1

．
（1）用兩種方法判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）方法1：求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導致之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
法2：利用分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）求出f（-x），得到f（x）+f（-x）=4為常數(shù)即可求得函數(shù)的對稱中心．

解答： 解：（1）法1：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=

4ex(ex+1)-4ex•ex

(ex+1)2

=

4ex

(ex+1)2

＞0，
∴f（x）=

4ex

ex+1

是增函數(shù)．
法2：f（x）=

4ex

ex+1

=

4(ex+1)-4

ex+1

=4-

4

ex+1

，
∵函數(shù)y=e^x是增函數(shù)，
∴函數(shù)y=1+e^x是增函數(shù)，y=

4

1+ex

是減函數(shù)，y=-

4

1+ex

是增函數(shù)，
∴y=4-

4

ex+1

是增函數(shù)．
∵1+e^x＞1，∴0＜

1

1+ex

＜1，0＜

4

1+ex

＜4，-4＜-

4

1+ex

＜0，
0＜4-

4

1+ex

＜4，即函數(shù)的值域為（0，4）．
（2）∵f（x）=

4ex

ex+1

=

4(ex+1)-4

ex+1

=4-

4

ex+1

，
∴f（-x）=

4e-x

e-x+1

=

4

1+ex

，
則f（x）+f（-x）=4-

4

ex+1

+

4

ex+1

=4，
則函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心為（0.2）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，利用導數(shù)法或分式函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．