已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線y=x+
6
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:3x-2y=0與橢圓在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P,F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
考點(diǎn):圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)利用離心率為
1
2
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線y=x+
6
相切,求出a,b即可求橢圓的方程;
(2)求出直線l:3x-2y=0與橢圓在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P,求出以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的圓心距與半徑和與差的關(guān)系,判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.
解答: 解:(1)由于e=
1
2
∴a=2c---------(1分)
b=
6
2
=
3
∴b2=3,a2-c2=3c2=3---------(3分)
∴c2=1,a2=4---------(4分)
所以橢圓的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1
---------(5分)
(2)由(1)可知,
3x-2y=0
x2
4
+
y2
3
=1
,解得直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P(1,
3
2
)
,F(xiàn)(1,0)
則以PF為直徑的圓方程是(x-1)2+(y-
3
4
)2=
9
16
,圓心為(1,
3
4
)
,半徑為
3
4
---------(9分)
以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程是x2+y2=4,圓心是(0,0),半徑是2---------(11分)
兩圓心距為
12+(
3
4
)
2
=
5
4
=2-
3
4
,所以兩圓內(nèi)切.---------(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l與橢圓有A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍;
(Ⅲ)求證:直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和An=-
1
2
n2+kn(其中k∈N+),且An的最大值為8;數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn=
n+2
3
bn,且b1=1.
(1)確定常數(shù)k,并求an;
(2)求數(shù)列{
bn
(9-2an)4n
}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè){an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a3=4,a5=16.
(Ⅰ)求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且有f(x)=2f(
1
x
x
-1,求f(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

6本不同的書(shū),按照以下要求處理,各有幾種分法?
(1)甲得一本,乙得兩本,丙得三本;
(2)一人得一本,一人得兩本,一人得三本;
(4)平均分給甲、乙、丙三人,每人兩本.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),現(xiàn)把他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的4次預(yù)賽成績(jī)繪制成表
次數(shù)

名字
第一次第二次第三次第四次

79818882

77858383
(Ⅰ)計(jì)算甲、乙兩人各自的平均成績(jī);
(Ⅱ)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,其頻率分布直方圖如下:
根據(jù)圖估計(jì)該電子元件壽命的眾數(shù)和中位數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為了了解初三年級(jí)學(xué)生中女生的身高(單位:cm)情況,某中學(xué)對(duì)九年級(jí)女生身高進(jìn)行了一次測(cè)量,所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如圖:
組 別頻數(shù)頻率
[145.5,149.5)10.02
[149.5,153.5)40.08
[153.5,157.5)200.40
[157.5,161.5)150.30
[161.5,165.5)80.16
[165.5,169.5)mn
合 計(jì)MN
(1)求出表中m,n,M,N所表示的數(shù)分別是多少?
(2)畫(huà)出頻率分布直方圖;
(3)估計(jì)九年級(jí)學(xué)生中女生的身高在153.5以上的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案