Question

已知函數(shù)f(x)=log₃,是否存在實(shí)數(shù)a、b、c，使f(x)同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：（1）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；（2）在［1，+∞）上是增函數(shù)；（3）最大值是1.若存在，求出a、b、c；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

分析：本題是存在性的問(wèn)題.解決的辦法是：首先假設(shè)三個(gè)參數(shù)a、b、c存在，然后用三個(gè)已知條件逐一確定a、b、c的值.

解： f(x)是奇函數(shù)f(0)=0log₃b=0,

∴b=1.

又∵f(-x)=-f(x),

即log₃=-log₃,

∴=(x²+1)²-a²x²=(x²+1)²-c²x².

∴a²=c²a=c或a=-c,但a=c不合題意，故a=-c.這時(shí)f(x)=log₃在［1，+∞）上是增函數(shù)，且最大值是1.

設(shè)u(x)=在［1,+∞］上是增函數(shù)，且最大值是3.

∵u′(x)=

==,

當(dāng)x＞1時(shí)x²-1＞0u′(x)＞0,

故c＞0;又當(dāng)x＜-1時(shí)，u′(x)＞0;

當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，u′(x)＜0.

所以u(píng)(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù).

∵x＞1,x²-cx+1＜x²+cx+1,u(x)＜1,

∴x=-1時(shí)u(x)最大值為3.

∴=3,c=1,a=-1.

經(jīng)驗(yàn)證：a=-1,b=1,c=1時(shí)，f(x)符合題設(shè)條件，所以存在滿(mǎn)足條件的a、b、c，

即a=-1,b=1,c=1.