Question

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l：y=-1，過點(diǎn)F且與直線l相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），直線l₁：y=kx+1（k∈R，且k≠0）與曲線E相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)S，T．試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個(gè)定點(diǎn)？若是，求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，即可求曲線E的方程；
（2）確定以線段ST為直徑的圓的方程，展開令x=0，即可求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意，點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，
故點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．…（1分）
∴曲線E的方程為x²=4y．…（2分）
（2）設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），依題意得，x₁²=4y₁，x₂²=4y₂．
y=kx+1代入x²=4y，消去y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（3分）
直線AB的斜率k_AB=

y1-1

x1-2

=

x1+2

4

，
故直線AB的方程為y-1=

x1+2

4

（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-

8

x1+2

，
∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為（2-

8

x1+2

，-1）．…（5分）
同理可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2-

8

x2+2

，-1）．…（6分）
∴|ST|²=|2-

8

x1+2

-（2-

8

x2+2

）|²=|

x1-x2

k

|²=

16(k2+1)

k2

．…（8分）
設(shè)線段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，-1），
則x₀=

1

2

（2-

8

x1+2

+2-

8

x2+2

）=2-

4(4k+4)

8k

=-

2

k

．…（9分）
∴以線段ST為直徑的圓的方程為(x+

2

k

)2+(y+1)2=

4(k2+1)

k2

．…（10分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以線段ST為直徑的圓恒過兩個(gè)定點(diǎn)（0，1），（0，-3）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．