Question

（本小題滿分10分）

已知函數(shù)f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;

(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=2   (2) (-∞,5).

【解析】

試題分析：解法一:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.

又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},

所以解得a=2.

(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5;當(dāng)-3≤x≤2時(shí),g(x)=5;當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5.

綜上可得,g(x)的最小值為5.

從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,

則m的取值范圍為(-∞,5］.

解法二:(1)同解法一.

(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤2時(shí)等號(hào)成立)得,g(x)的最小值為5.

從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,

則m的取值范圍為(-∞,5).

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法；函數(shù)恒成立問題．

點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.