Question

必做題：（本小題滿分10分，請(qǐng)?jiān)诖痤}指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
已知a_n（n∈N^*）是二項(xiàng)式（2+x）ⁿ的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ對(duì)一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）結(jié)合（（2+x）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)T_r+1=C_n^r2^n-rx^r，令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差數(shù)列{b_n}，滿足已知條件則把n=1，n=2，n=3分別代入可求b₁，b₂，b₃，結(jié)合所求可猜想b_n=n
再證明：a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ對(duì)一切正整數(shù)n都成立
（法一）設(shè)S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ，則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹，利用倒序相加結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可證
（法二）利用組合數(shù)的性質(zhì)kC_n^k=nC_n-1^k-1，對(duì)原式化簡(jiǎn)可證

解答：解：（I）∵（（2+x）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：T_r+1=C_n^r2^n-rx^r（r=0，1，2…n）
令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差數(shù)列{b_n}，滿足已知條件
則當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=b₁C₂¹+b₂C₂²即4=4=2+b₂，所以b₂=2
當(dāng)n=3時(shí)，a₃=b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³即12=3+6+b₃，所以b₃=3
由上述結(jié)果，猜想b_n=n
下面證明：當(dāng)b_n=n時(shí)，a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ對(duì)一切正整數(shù)n都成立
即證n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法一）設(shè)S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹
則2S=nC_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1
即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法二）∵kC_n^k=k

n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

=n

(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=nC_n-1^k-1
∴C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1
綜上可得，存在等差數(shù)列b_n=n滿足已知條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解指定項(xiàng)的系數(shù)，考查了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ②kC_n^k=nC_n-1^k-1的綜合應(yīng)用及倒序求和、數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題等知識(shí)的綜合應(yīng)用．