Question

在直線l：x+y-5=0上找一點P（x，y），使P對A（1，0），B（3，0）的視角∠APB最大．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：設（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大，求得tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

，再利用基本不等式求得它的最大值，從而得點P的坐標．

解答： 解：設P（a，5-a），要使∠APB最大，只要tan∠APB最大．
∵a=5時，∠APB=0，∴a＜5，5-a＞0．
∵K_PA=

5-a

a-1

，k_PB=

5-a

a-3

，
tan∠APB=|

5-a a-1 - 5-a a-3

1+ 5-a a-1 • 5-a a-3

|=

5-a

a2-7a+14

令t=5-a（t＞0），tan∠APB=

t

t2-3t+4

=

1

t+ 4 t -3

≤1，當且僅當t=2，即a=3時，取等號．
∴∠APB的最大值為

π

4

，此時，點P的坐標為（3，2）．

點評：本題主要考查兩條直線的夾角公式，以及基本不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．