Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

1

6

≤T_n＜

3

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

，由此能求出a_n=4n+2．
（2）由a₁=6，d=4，得S_n=2n²+4n，

1

Sn

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，從而T_n=

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

＜

3

8

，由此能證明

1

6

≤T_n＜

3

8

．

解答： 解：（1）由題意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

，
解得a₁=6，d=4，
∴a_n=6+（n-1）×4=4n+2．

（2）∵a₁=6，d=4，
∴S_n=6n+

n(n-1)

2

×4=2n²+4n，

1

Sn

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

4

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

＜

3

8

，
（T_n）_min=T₁=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

=

1

6

．
故

1

6

≤T_n＜

3

8

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．