在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點．

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 若θ＝90°，＝，求實數(shù)m；

(3) 試問的值是否與θ的大小無關，并證明你的結論．


解：(1) ∵ c＝4m，橢圓離心率e＝＝，

∴ a＝5m.∴ b＝3m.

∴ 橢圓C的標準方程為＝1.

(2) 在橢圓方程＝1中，

令x＝4m，解得y＝±.

∵ 當θ＝90°時，直線MN⊥x軸，此時FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴ ＝，解得m＝.

(3) 的值與θ的大小無關．

證明如下：(證法1)設點M、N到右準線的距離分別為d1、d2.

顯然該值與θ的大小無關．

(證法2)當直線MN的斜率不存在時，

由(2)知，的值與θ的大小無關．

當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y＝k(x－4m)，　

代入橢圓方程＋＝1，得

(25k2＋9)m2x2－200m3k2x＋25m4(16k2－9)＝0.

設點M(x1，y1)、N(x2，y2)，

∵Δ＞0恒成立，

.

顯然該值與θ的大小無關．

題型3　定點問題


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已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的兩個相鄰最值點為，則這個函數(shù)的解析式為________．

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 直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關系是________．

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若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點分成7∶3的兩段，則此雙曲線的離心率為________．

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已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為________．

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如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e＝.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8.

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 設動直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x＝4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

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已知拋物線x2＝4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點，拋物線在A、B兩點處的切線交于點M.

(1) 求證：A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列；

(2) 設直線MF交該拋物線于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

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已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則OM＝________．

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已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝ (a為長半軸，c為半焦距)上．

(1) 求橢圓的標準方程；

(2) 求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；

(3) 設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

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