Question

雙曲線x²-

y2

4

=1的漸近線被圓x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦長為

 

．

Answer 1

分析：求出漸近線方程，由點到直線的距離公式求出圓心到漸近線的距離，將此距離和半徑作比較，得出結論，再求弦長即可．

解答：解：由題得雙曲線x²-

y2

4

=1的漸近線是：y=±2x
圓x²+y²-6x-2y+1=0的標準方程為：（x-3）²+（y-1）²=9
∴圓心（3，1），半徑r=3．
∴（3，1）到直線y=2x的距離d=

|2×3-1|

22+1

=

5

．
故有

l

2

=

r2-d2

=2，得到弦長l=4；
∵（3，1）到直線y=-2x的距離d=

|(-2)×3-1|

(-2)2+1

=

7 5

5

＞r，此時圓于直線相離．
綜上得：雙曲線x²-

y2

4

=1的漸近線被圓x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦長為4．
故答案為：4．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系．考查計算能力以及分類討論能力．