Question

（本小題滿分14分）（注意：仙中、一中、八中的學生三問全做，其他學校的學生只做前兩問）
已知函數(shù)
（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)，求證：．

Answer 1

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
（1）因為由得，所以．然后根據(jù)導數(shù)的符號判定單調(diào)性得到及結(jié)論
（2）由可知是偶函數(shù)．
于是對任意成立等價于對任意成立．然后求解導數(shù)，分析得到參數(shù)的范圍。
（3），
，
運用放縮法得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，
由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．（6分）（3分）
（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．
于是對任意成立等價于對任意成立．（8分）（5分）
由得．
①當時，．此時在上單調(diào)遞增．
故，符合題意． （10分）（7分）
②當時，．當變化時的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．
依題意，，又．（13分）（9分）
綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．（14分）（10分）
（Ⅲ），
，
，

由此得，

故．（（14分）