Question

設數(shù)列{a_n}是各項均為1的無窮數(shù)列．若在數(shù)列{a_n}的首項a₁后面插入1，隔2項，即a₃后面插入2，再隔3項，即a₆后面插入3，…，這樣得到一個新數(shù)列{b_n}，則數(shù)列{b_n}的前2011項的和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：新數(shù)列{b_n}形如：1，1，1，1，2，1，1，1，3，1，1，1，1，4，…．把11，112，1113，11114，…組合成新的數(shù)組，那么新數(shù)組的數(shù)的個數(shù)為2，3，4，5，…，n+1．即數(shù)列{b_n}的項數(shù)為：2+3+4+5+…+n+1，

n(n+3)

2

＞2011，n＞61，即可求出．

解答： 解：新數(shù)列{b_n}形如：1，1，1，1，2，1，1，1，3，1，1，1，1，4，…
把11，112，1113，11114，…組合成新的數(shù)組，那么新數(shù)組的數(shù)的個數(shù)為2，3，4，5，…，n+1．
即數(shù)列{b_n}的項數(shù)為：2+3+4+5+…+n+1，
令2+3+4+5+…+（n+1）=2011，
∴

n(n+3)

2

=2011，
∴n（n+3）=4022，
∴n＞61，
因此數(shù)列{b_n}的前2010項為1、1，1、1、2，1、1、1、3，••，1、1、1、…1、61，1、1、1、…11（共59個1），
因此數(shù)列{b_n}的前2010項和為：2+4+6+…+61×2+59=3841．
故答案為：3841．

點評：本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．