Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=e^ax-lnx（a是實(shí)常數(shù)），下列結(jié)論正確的一個(gè)是（　　）

• A、a=1時(shí)，f（x）有極大值，且極大值點(diǎn)x₀∈（

  1

  2

  ，1）
• B、a=2時(shí)，f（x）有極小值，且極小值點(diǎn)x₀∈（0，

  1

  4

  ）
• C、a=

  1

  2

  時(shí)，f（x）有極小值，且極小值點(diǎn)x₀∈（1，2）
• D、a＜0時(shí)，f（x）有極大值，且極大值點(diǎn)x₀∈（-∞，0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值存在的條件，以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件，判斷f′（x）=0根的區(qū)間即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=e^ax-lnx，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^ax-

1

x

，
若a=

1

2

，f（x）=e

1

2

x-lnx，
則f′（x）=

1

2

e

1

2

x-

1

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
f′（1）=

1

2

e

1

2

-1=

1

2

e

-1＜0，f′（2）═

1

2

e-

1

2

=

1

2

(e-1)＞0，
∴函數(shù)f（x）存在極小值，且f′（x）=0的根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及函數(shù)極值的求解，利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．