Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=x+m與橢圓C：+=1相交于A、B兩點，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過O點，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由方程組得：5x²+8mx+（4m²-16）=0，…（2分）
因為直線 l橢圓C有兩個交點，所以△=（8m）²-4×5×（4m²-16）＞0…（4分），
解得-＜m＜…（5分），
又因為OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范圍是（-，0）∪（0，）…（6分）．
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
以AB為直徑的圓經(jīng)過點，所以∠AOB=90°…（8分），
=x₁•x₂+y₁•y₂=0…（9分），
由y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，…（10分），
得=x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂+m（x₁+x₂）+m²
=-+m²=0…（12分），
解得m=±…（13分），所以直線l的方程是：
y=x+或y=x-…（14分）．
分析：（1）聯(lián)立，直線 l橢圓C有兩個交點，由△＞0即可求得m的范圍，但要注意OA+OB＞AB的應用，去掉不符合題意的m的值；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，由以AB為直徑的圓經(jīng)過O點得∠AOB=90°，從而由=0可求得m的值，于是可得直線l的方程．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，韋達定理的使用，側重方程思想，化歸思想的考查，易錯點在于（1）中忽視m≠0的情況，屬于綜合性強，難度大的題目．