Question

已知正四面體的體積為a，則其外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正四面體的所有棱長(zhǎng)均為b，所以此三棱錐一定可以放在棱長(zhǎng)為

2

2

b的正方體中，求出這個(gè)正四面體的體積和其外接球的體積，可得兩個(gè)體積的比，進(jìn)而結(jié)合正四面體的體積為a，可得答案．

解答： 解：∵正三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)均為b，
∴此三棱錐一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此三棱錐．
∴正方體的棱長(zhǎng)為

2

2

b，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
∴外接球的半徑為R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

b=

6

4

b，
∴球的體積為V=

4

3

πR³=

6

8

πb³，
而此時(shí)正四面體的體積為b³-4×

1

3

×

1

2

×b³=

1

3

b³，
故正四面體的體積與其外接球的體積之比為：

1

3

b³：

6

8

πb³=1：

3 6

8

π，
當(dāng)正四面體的體積為a時(shí)，
其外接球的體積為

3 6

8

πa，
故答案為：

3 6

8

πa

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的接體問(wèn)題，考查了空間想象能力，其解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出接體幾何元素的數(shù)據(jù)，代入面積、體積公式分別求解．