Question

【題目】已知函數g（x）=aln x，f（x）=x3+x2+bx．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調函數，求實數b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+x2+bx，得f′（x）=3x2+2x+b，

∵f（x）在區(qū)間[1，2]上不是單調函數，

∴f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

f′（x）=3 +b﹣ ，

∴ ，

∴﹣16＜b＜﹣5；

（2）解：由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，

∴l(xiāng)nx＜x，即x﹣lnx＞0，

∴a≤ 恒成立，即a≤（ ）min．

令t（x）= ，x∈[1，e]，求導得，t′（x）= ，

當x∈[1，e]時，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣lnx＞0，從而t′（x）≥0，

∴t（x）在[1，e]上為增函數，tmin（x）=t（1）=﹣1，

∴a≤﹣1．

【解析】（1）求出函數的導數，根據f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，得到關于b的不等式組，解出即可；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x分離出參數a后，轉化為求函數最值，利用導數可求最值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．