Question

已知數列{a_n}的前n項和為，數列{b_n}滿足：，前n項和為T_n，設C_n=T_2n+1-T_n．　
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）是否存在自然數k，當n≥k時，總有成立，若存在，求自然數k的最小值．若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）a₁=2，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴
（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵
∴數列{C_n}是單調遞減數列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
當n=1時，
當n=2時，
當n=3時，
當n≥3時，
故，k_min=3．
分析：（1）由數列{a_n}的前n項和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=，求數列{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=++…+，知c_n+1-c_n=+-＜0，所以{c_n}是遞減數列，從而得出存在自然數k，當n≥k時，總有成立．
點評：本題考查數列與不等式的綜合、數列的求和，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，仔細求解．