【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線
的焦點重合,且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓C截得的弦長為1.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的中點為,直線m是線段AB的垂直平分線,試問直線
過定點坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(I)根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)求得橢圓,結(jié)合
以及
,求得
的值,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(II)首先根據(jù)在橢圓
的內(nèi)部,求得
的取值范圍.分成
的斜率存在或者不存在兩種情況進(jìn)行分類討論,求出直線
的方程,由此判斷直線
過定點
.
(I)拋物線的焦點為
,則
.拋物線的準(zhǔn)線
被橢圓C截得的弦長為
,所以
,結(jié)合
,解得
,
.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(II)顯然點在橢圓C內(nèi)部,故
,且直線的斜率不為0
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時,易知,設(shè)直線l的方程為
代入橢圓方程并化簡得:
設(shè),
,則
,解得
.
因為直線m是線段AB的垂直平分線,故直線,即:
.
令,此時
,
,于是直線m過定點
.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,易知,此時直線
,故直線m過定點
綜上所述,直線m過定點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為
,
,點
在橢圓
上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在斜率為的直線
與橢圓
相交于
,
兩點,使得
?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體有8個不同頂點,現(xiàn)任意選擇其中4個不同頂點,然后將它們兩兩相連,可組成平面圖形成空間幾何體.在組成的空間幾何體中,可以是下列空間幾何體中的________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
①每個面都是直角三角形的四面體;
②每個面都是等邊三角形的四面體;
③每個面都是全等的直角三角形的四面體;
④有三個面為等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰梯形中,
是
的中點,
,將
沿著
翻折成
,使平面
平面
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點P,使得
平面
,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
,
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,若直線
與曲線
相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點
,
與原點
構(gòu)成
,且滿足
,求面積
的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為
,
,消去參數(shù)可知曲線
是圓心為
,半徑為
的圓,由直線
與曲線
相切,可得:
;則曲線C的方程為
, 再次利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得
可得曲線C的極坐標(biāo)方程.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),
,(
),
,
,
由此可求面積的最大值.
試題解析:(1)由題意可知直線的直角坐標(biāo)方程為
,
曲線是圓心為
,半徑為
的圓,直線
與曲線
相切,可得:
;可知曲線C的方程為
,
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,
即.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),
,(
),
,
,
當(dāng) 時,
,
所以△MON面積的最大值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】已知函數(shù)的定義域為
;
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)實數(shù)為
的最大值,若實數(shù)
,
,
滿足
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國際羽毛球比賽規(guī)則從2006年5月開始,正式?jīng)Q定實行21分的比賽規(guī)則和每球得分制,并且每次得分者發(fā)球,所有單項的每局獲勝分至少是21分,最高不超過30分,即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽,如果雙方比分為時,獲勝的一方需超過對方2分才算取勝,直至雙方比分打成
時,那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中,甲發(fā)球贏球的概率為
,甲接發(fā)球贏球的概率為
,則在比分為
,且甲發(fā)球的情況下,甲以
贏下比賽的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某橢圓C,它的中心在坐標(biāo)原點,左焦點為F(﹣,0),且過點D(2,0).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若已知點A(1,),當(dāng)點P在橢圓C上變動時,求出線段PA中點M的軌跡方程.
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