Question

已知

a

，

b

，

c

均為單位向量，且滿足

a

•

b

=0，則（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于

a

，

b

，

c

均為單位向量，滿足

a

•

b

=0，可設(shè)

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（cosθ，sinθ）．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵

a

，

b

，

c

均為單位向量，滿足

a

•

b

=0，
∴可設(shè)

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（cosθ，sinθ）．
∴（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）=（1+cosθ，1+sinθ）•（1+cosθ，sinθ）
=（1+cosθ）²+（1+sinθ）sinθ
=sinθ+2cosθ+2
=

5

sin(θ+φ）+2≤

5

+2，tanφ=2，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)取等號(hào)．
∴（

a

+

b

+

c

）•（

a

+

c

）的最大值為

5

+2．
故答案為：

5

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．