Question

雙曲線x²-y²=8的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，點P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，則x₂₀₁₄的值是（　　）

• A、8056

  2

• B、8048

  2

• C、8056
• D、8048

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意可求得P₁點的橫坐標x₁（就是右焦點F₂的橫坐標），利用兩點間的距離公式由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|可求得x_n+1-x_n=4，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求得x₂₀₁₂的值．

解答： 解：∵a²=8，b²=8，
∴c=4，即x₁=4，又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
∴（x_n+1-4）²+y_n+1²=（x_n+4）²+y_n²，
即x_n+1²-8x_n+1+16+y_n+1²=x_n²+8x_n+16+y_n²，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n-4）=0，
由題意知，x_n＞0，
∴x_n+1-x_n=4，
∴{x_n}是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，
∴x₂₀₁₄=x₁+2013×4=4+8052=8056．
故選：C．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，突出考查等差數(shù)列的通項公式，通過分析運算得到x_n+1-x_n=4是關(guān)鍵，也是難點，考查化歸思想與運算能力，屬于中檔題．