Question

（不等式選做題）對(duì)于任意θ∈R，|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式|sinθ-3|≥a+

2

a

對(duì)于任意θ∈R恒成立轉(zhuǎn)化為|sinθ-3|_min≥a+

2

a

，利用sinθ∈[-1，1]，即可求得|sinθ-3|_min=2，則a+

2

a

≤2，求解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵不等式|sinθ-3|≥a+

2

a

對(duì)于任意θ∈R恒成立，
∴|sinθ-3|_min≥a+

2

a

，
∵sinθ∈[-1，1]，
∴sinθ-3∈[-4，-2]，
∴|sinθ-3|∈[2，4]，
∴|sinθ-3|_min=2，
∴a+

2

a

≤2，即

a2-2a+2

a

≤0，
∵a²-2a+2=（a-1）²+1＞0恒成立，
∴a＜0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．本題選用了最值法進(jìn)行求解，涉及了三角函數(shù)求最值，要掌握常見(jiàn)函數(shù)的值域，會(huì)對(duì)解題帶來(lái)很大的便捷．屬于中檔題．