已知二次函數(shù)f (x)=x2+mx+n對任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,設向量= ( sinx , 2) ,
= (2sinx ,
),
= ( cos2x , 1 ),
=(1,2),
(Ⅰ)求函數(shù)f (x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當x∈[0,π]時,求不等式f (·
)>f (
·
)的解集.
(1) 增區(qū)間為,減區(qū)間為
;(2) { x|
<x<
}
【解析】
試題分析:(1)由已知可知f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為
;(2) 因為當x∈[0,π]時
·
=(sinx, 2)·(2sinx,
)=2sin2x+1≥1,
·
=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,而函數(shù)f(x)在是[1,+∞)上為增函數(shù),所以 f (
·
)>f (
·
)
f(2sin2x+1)> f(cos2x+2)
cos2x<0
kπ+
<x<kπ+
, k∈z ,又0≤x≤π,所以
<x<
.
試題解析:(1)設f(x)圖象上的兩點為A(-x,y1)、B(2+x, y2),因為=1
f (-x) = f (2+x),所以y1= y2
由x的任意性得f(x)的圖象關于直線x=1對稱,
∴f(x)的增區(qū)間為; f(x) 的減區(qū)間為
(2)∵·
=(sinx, 2)·(2sinx,
)=2sin2x+1≥1,
·
=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,
∵f(x)在是[1,+∞)上為增函數(shù),∴f (·
)>f (
·
)
f(2sin2x+1)> f(cos2x+2)
2sin2x+1>cos2x+2
1-cos2x+1>cos2x+2
cos2x<0
2kπ+
<2x<2kπ+
,k∈z
kπ+
<x<kπ+
, k∈z
∵0≤x≤π ∴<x<
綜上所述,不等式f (·
)>f (
·
)的解集是:{ x|
<x<
}
考點:1.函數(shù)的圖象與性質;2.函數(shù)單調性的應用
科目:高中數(shù)學 來源:2016屆浙江省寧波市高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設是兩條不同的直線,
是一個平面,則下列命題不正確的是( )
A.若,
,則
B.若
,
∥
,則
C.若,
,則
∥
D.若
∥
,
∥
,則
∥
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆河南長葛第三實驗高中高一下學期第三次考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
給出如下四對事件:
①某人射擊1次,“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”;
②甲、乙兩人各射擊1次,“甲射中7環(huán)”與“乙射中8環(huán)”;
③甲、乙兩人各射擊1次,“兩人均射中目標”與“兩人均沒有射中目標”;
④甲、乙兩人各射擊1次,“至少有1人射中目標”與“甲射中,但乙未射中目標”,
其中屬于互斥事件的有( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆河南省實驗學校高一下學期期末數(shù)學試卷2(解析版) 題型:選擇題
如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是
A.62 B.63 C.64 D.65
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆河南省實驗學校高一下學期期末數(shù)學試卷1(解析版) 題型:填空題
半徑為2的圓O與長度為6的線段PQ相切,切點恰好為線段PQ的三等分點, 則= .
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆河南省實驗學校高一下學期期末數(shù)學試卷1(解析版) 題型:選擇題
袋中有大小相同的三個白球和兩個黑球,從中任取兩個球,兩球同色的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2016屆河南省高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知數(shù)列中,
,且數(shù)列
為等差數(shù)列,則
_________
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