已知二次函數(shù)f (x)=x2+mx+n對任意x∈R,都有f (-x) = f (2+x)成立,設向量= ( sinx , 2) , = (2sinx ,),= ( cos2x , 1 ), =(1,2),

(Ⅰ)求函數(shù)f (x)的單調區(qū)間;

(Ⅱ)當x∈[0,π]時,求不等式f (·)>f (·)的解集.

 

(1) 增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2) { x|<x< }

【解析】

試題分析:(1)由已知可知f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2) 因為當x∈[0,π]時·=(sinx, 2)·(2sinx,)=2sin2x+1≥1,·=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,而函數(shù)f(x)在是[1,+∞)上為增函數(shù),所以 f (·)>f (·)f(2sin2x+1)> f(cos2x+2) cos2x<0kπ+<x<kπ+, k∈z ,又0≤x≤π,所以<x<.

 

試題解析:(1)設f(x)圖象上的兩點為A(-x,y1)、B(2+x, y2),因為=1

f (-x) = f (2+x),所以y1= y2

由x的任意性得f(x)的圖象關于直線x=1對稱,

∴f(x)的增區(qū)間為; f(x) 的減區(qū)間為

(2)∵·=(sinx, 2)·(2sinx,)=2sin2x+1≥1,

·=(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1,

∵f(x)在是[1,+∞)上為增函數(shù),∴f (·)>f (·)f(2sin2x+1)> f(cos2x+2)

2sin2x+1>cos2x+21-cos2x+1>cos2x+2

cos2x<02kπ+<2x<2kπ+,k∈z

kπ+<x<kπ+, k∈z

∵0≤x≤π ∴<x<

綜上所述,不等式f (·)>f (·)的解集是:{ x|<x< }

考點:1.函數(shù)的圖象與性質;2.函數(shù)單調性的應用

 

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