Question

如圖，在三棱柱ABC＝A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，A₁A＝AB＝2，BC＝3．

(1)求證：AB₁∥平面BC₁D；

(2)求四棱錐B－AA₁C₁D的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接， 　　∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)． 　　∵為的中點(diǎn)，∴為△的中位線， 　　∴　3分 　　∵平面，平面， 　　∴平面．　6分 　　(2)解法1：∵平面，平面， 　　∴平面平面，且平面平面． 　　作，垂足為，則平面，　8分 　　∵，， 　　在Rt△中，，，　10分 　　∴四棱錐的體積　12分 　　． 　　∴四棱錐的體積為．　14分 　　解法2：∵平面，平面，∴． 　　∵，∴． 　　∵， 　　∴平面．　8分 　　取的中點(diǎn)，連接，則， 　　∴平面． 　　三棱柱的體積為，　10分 　　則， 　　．　12分 　　而， 　　∴． 　　∴． 　　∴四棱錐的體積為．　14分