Question

已知函數f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函數f（x）的取值范圍；
（3）函數f（x）的圖象經過怎樣的平移可使其對應的函數成為奇函數？

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（2x+

π

3

）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式可得；
（2）由x∈[0，

π

4

]可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，由三角函數的性質易得值域；
（3）將f（x）的圖象上所有的點向右平移

π

6

個單位長度即可．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ可得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴當2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

時，f（x）_max=1，
當2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

時，f（x）_min=

1

2

，
∴

1

2

≤f（x）≤1．
（3）將f（x）的圖象上所有的點向右平移

π

6

個單位長度得到y=sin2x的圖象，其對應的函數即為奇函數．（答案不唯一）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換，涉及三角函數的單調性和圖象變換，屬基礎題．