Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）≤kx²對任意x＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）當(dāng)n＞m＞1（m，n∈N^*）時，證明：

n m

m n

＞

m

n

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；
（2）f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，令g(x)=

1+lnx

x

，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，運用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最大值，令k不小于最大值即可；
（3）令h(x)=

xlnx

x-1

，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，由n＞m＞1，則h（n）＞h（m），化簡整理，即可得證．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，
又∵f（x）的圖象在點x=e處的切線的斜率為3，
∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，
∴a=1；     
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²對任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

對任意x＞0成立，
令g(x)=

1+lnx

x

，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，
g′(x)=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，令g'（x）=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．       
故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，
∴k≥1即為所求；           
（3）令h(x)=

xlnx

x-1

，則h′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

，
由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即

nlnn

n-1

＞

mlnm

m-1

，
∴mnlnn-nlnn＞mnlnm-mlnm，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ，ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
∴

n m

m n

＞

m

n

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查不等式的證明，運用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，屬于中檔題．