Question

已知P(x0,y0)是函數(shù)f(x)=ln x圖象上一點,在點P處的切線l與x軸交于點B,過點P作x軸的垂線,垂足為A.

(1) 求切線l的方程及點B的坐標;

(2) 若x0∈(0,1),求△PAB的面積S的最大值,并求此時x0的取值.(可能用到的公式:'=)

Answer 1

 (1) 因為f'(x)=. ,

所以過點P的切線方程為y-ln x0=(x-x0),

即切線方程為y=x+ln x0-1,

令y=0,得x=x0-x0ln x0,

即點B的坐標為(x0-x0ln x0,0).

(2) AB=x0-x0ln x0-x0=-x0ln x0,

PA=|f(x0)|=-ln x0,

所以S=AB·PA=x0·(ln x0)2,

S'=ln2 x0+x0·2ln x0·

=ln x0(ln x0+2),

由S'>0,得0<x<,所以當x∈時,S單調(diào)遞增;由S'<0,得<x<1,

所以當x∈時,S單調(diào)遞減.

所以Smax=S=ln2=.

所以當x0=,面積S的最大值為.