Question

設a、b是實常數(shù)，解關于實數(shù)x的不等式：
（1）（a+1）x＞b-2；
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0；
（3）（a+3）x²-2x+1≥0．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）對a分類討論：當a+1＞0時，當a+1=0時，當a+1＜0時，解出即可；
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0化為（x-a²）（x-a）＜0，對a分類討論：當a²=a時，即a=0或1；當a²＞a時，即a＞1或a＜0；當a²＜a時，即0＜a＜1，解出即可．
（3）對a與-3的大小關系、△與0的大小關系分類討論即可得出．

解答： 解：（1）當a+1＞0時，不等式（a+1）x＞b-2的解集為{x|x＞

b-2

a+1

}；
當a+1=0時，不等式化為0＞b-2，當b-2＜0時，不等式的解集為R，當b-2≥0時，不等式的解集為∅；
當a+1＜0時，不等式（a+1）x＞b-2的解集為{x|x＜

b-2

a+1

}．
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0化為（x-a²）（x-a）＜0，
當a²=a時，即a=0或1，不等式化為（x-a）²＜0，不等式的解集為∅；
當a²＞a時，即a＞1或a＜0，不等式的解集為{x|a＜x＜a²}；
當a²＜a時，即0＜a＜1，不等式的解集為{x|a²＜x＜a}．
（3）當a=-3時，不等式化為-2x+1≥0，不等式的解集為{x|x≤

1

2

}；
當a≠-3時，△=4-4（a+3）=-4a-8．
當a＞-3時，由△＞0，解得a＜-2，即-3＜a＜-2時，
不等式的解集為{x|

1- -a-1

a+3

＜x＜

1+ -a-1

a+3

}；
當a＞-3時，由△=0，解得a=-2，即a=-2時，不等式的解集為R；
當a＞-3時，由△＜0，解得a＞-2，即-2＜a時，不等式的解集為∅；
當a＜-3時，由△＞0，解得a＜-2，即a＜-3時，不等式的解集為{x|

1+ -a-1

a+3

＜x＜

1- -a-1

a+3

}；
當a＜-3時，由△≤0，解得a≥-2，此時舍去．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．