Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時(shí)，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式；
（2）求f（x）的表達(dá)式，并寫出其定義域；
（3）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，進(jìn)而利用斜率公式得x₁=1，再由當(dāng)n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時(shí)，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），可得x_n的遞推關(guān)系，再利用累加法求得x_n的表達(dá)式．
（2）先求出f（x）的表達(dá)式，再根據(jù)b的取值情況分別求得f（x）的定義域．
（3）法1：分情況用數(shù)學(xué)歸納法證明．
     法2：分情況利用當(dāng)x_n＜x≤x_n+1時(shí)有f（x）-f（x_n）=bⁿ（x-x）＞x-x_n（n≥1），從而f（x）-x＞f（x_n）-x_n．進(jìn)而得解．
解答：解：（1）依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b=1的線段，故由
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，當(dāng)1≤y≤2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，故由，即得．
記x=0．由函數(shù)y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n-1，故得．
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1；
所以．
由此知數(shù)列{x_n-x_n-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為．
因b≠1，得
=，
即．
（2）當(dāng)0≤y≤1，從Ⅰ可知y=x，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
當(dāng)n≤y≤n+1時(shí)，即當(dāng)x_n≤x≤x_n+1時(shí)，由Ⅰ可知f（x）=n+bⁿ（x-x_n）?（x_n≤x≤x_n+1，n=1，2，3）．
為求函數(shù)f（x）的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論．
當(dāng)b＞1時(shí)，；
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，n→∞，x_n也趨向于無窮大．
綜上，當(dāng)b＞1時(shí)，y=f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213237450847820/SYS201310232132374508478022_DA/12.png">；
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞）．
（3）證法一：首先證明當(dāng)b＞1，時(shí)，恒有f（x）＞x成立．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（ⅰ）由（2）知當(dāng)n=1時(shí)，在（1，x₂]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)在（x_k，x_k+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（x_k+1）=k+1＞x_k+1，
在（x_k+1，x_k+2]上，f（x）=k+1+b^k+1（x-x_k+1）．
所以f（x）-x=k+1+b^k+1（x-x_k+1）-x=（b^k+1-1）（x-x_k+1）+（k+1-x_k+1）＞0也成立．
由（�。┡c（ⅱ）知，對(duì)所有自然數(shù)n在（x_n，x_n+1]上都有f（x）＞x成立．
即時(shí)，恒有f（x）＞x．
其次，當(dāng)b＜1，仿上述證明，可知當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＜x成立．
故函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)．
證法二：首先證明當(dāng)b＞1，時(shí)，恒有f（x）＞x成立．
對(duì)任意的，存在x_n，使x_n＜x≤x_n+1，
此時(shí)有f（x）-f（x_n）=bⁿ（x-x）＞x-x_n（n≥1），
所以f（x）-x＞f（x_n）-x_n．
又，
所以f（x_n）-x_n＞0，
所以f（x）-x＞f（x_n）-x_n＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，當(dāng)b＜1，仿上述證明，可知當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＜x成立．
故函數(shù)f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)．
本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推理和綜合的能力．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列以及極限的綜合知識(shí)，考查知識(shí)的歸納、推理和綜合運(yùn)用的能力，能力層次要求高，要理解掌握本題的思想方法．