Question

2．5個(gè)同學(xué)排成一橫排照相．
（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？
（2）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？
（3）甲、乙不能相鄰的排法有多少種？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，假設(shè)5個(gè)人分別對(duì)應(yīng)5個(gè)空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有3個(gè)位置可選；而其他4人對(duì)應(yīng)其他4個(gè)位置，對(duì)其全排列，可得其排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）采用捆綁法．先排甲、乙，再與其他3名同學(xué)排列，問題得以解決．
（2）采用插空法，先排其余的3名同學(xué)，出現(xiàn)4個(gè)空位，將甲、乙插在空位中，問題得以解決．

解答 解：（1）假設(shè)5個(gè)人分別對(duì)應(yīng)5個(gè)空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有3個(gè)位置可選；
則其他4人對(duì)應(yīng)其他4個(gè)位置，有A₄⁴=24種情況，
則不同排列方法種數(shù)3×24=72種；
（2）分2步進(jìn)行分析：
①、將甲乙看成一個(gè)整體，考慮甲乙之間的順序，有A₂²=2種情況；
②、將這個(gè)整體與其他3名同學(xué)排列，有A₄⁴=24種情況；
則甲、乙必須相鄰的排法有2×24=48種；
（3）分2步進(jìn)行分析：
①、將除甲乙之外的3人全排列，有A₃³=6種順序，排好后有4個(gè)空位，
②、在4個(gè)空位中任選2個(gè)，安排甲乙，有A₄²=12種情況，
則甲、乙不能相鄰的排法有4×12=48種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的運(yùn)用，注意常見問題的處理方法，如相鄰問題與不能相鄰問題．