Question

.(本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=ln+mx2(m∈R)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點，且a>b>0, 為f(x)的導函數(shù)，求證：

(III)求證

 

Answer 1

【答案】

(1)

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)構造函數(shù)利用單調(diào)性來證明不等式成立。

(3)在第二問的基礎上，進行適當?shù)姆趴s得到證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）f(x)的定義域為，

時，>0, 在上單調(diào)遞增；

時，<0, 在上單調(diào)遞減.

綜上所述：

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.…………3分

（Ⅱ）要證，只需證,令即證，

令，

因此得證.…………………6分

要證，只要證，

令，只要證，

令，

因此，

所以得證.………………9分

另一種的解法:

令=,,

則 ,

所以在單調(diào)遞增，

即得證.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知,（），則

所以.………………12分

考點：本試題考查了函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明。

點評：解決該試題的關鍵是利用導數(shù)的正負來求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而確定出最值，同時利用構造函數(shù)的思想，分離參數(shù)來求解函數(shù)的最值，解決不等式的恒成立問題，同時要對于不等式的證明，要采用適當?shù)姆趴s來完成，屬于難度試題。