Question

在平面直角坐標系xoy中，過點C（p，0）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求證：y₁y₂為定值
（2）是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）法一：當直線AB垂直于x軸時，y1y2=-2p2；當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為y=k（x-p），由

y=k(x-p) y2=2px

，得ky²-2py-2p²k=0，y1y2=-2p2為定值．
（1）法二：設直線AB的方程為my=x-p，由

my=x-p y2=2px

，得y²-2pmy-2p²=0，由此利用韋達定理能證明y1y2=-2p2為定值．
（2）設存在直線l：x=a滿足條件，則AC的中點E(

x1+p

2

，

y1

2

)，AC=

(x1-p)2+y12

，由已知條件推導出當p-2a=0即a=

p

2

時，弦長

4p• p 2 -4× p2 4

=p為定值，這時直線方程為x=

p

2

．

解答： （1）證法一：當直線AB垂直于x軸時，
y1=

2

p，y2=-

2

p，
因此y1y2=-2p2（定值），（2分）
當直線AB不垂直于x軸時，
設直線AB的方程為y=k（x-p）
由

y=k(x-p) y2=2px

，得ky²-2py-2p²k=0，∴y1y2=-2p2，
因此有y1y2=-2p2為定值．（4分）
（1）證法二：設直線AB的方程為my=x-p，
由

my=x-p y2=2px

，得y²-2pmy-2p²=0，（2分）
∴y1y2=-2p2，
因此有y1y2=-2p2為定值．（4分）
（2）解：設存在直線l：x=a滿足條件，
則AC的中點E(

x1+p

2

，

y1

2

)，AC=

(x1-p)2+y12

，
因此以AC為直徑的圓的半徑r=

1

2

AC=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

，
E點到直線x=a的距離d=|

x1+p

2

-a|，（7分）
所以所截弦長為2

r2-d2

=2

1 4 (x12+p2)-( x1+p 2 -a)2

=

x12+p2-(x1+p-2a)2

=

-2x1(p-2a)+4ap-4a2

，（10分）
當p-2a=0即a=

p

2

時，弦長

4p• p 2 -4× p2 4

=p為定值，
這時直線方程為x=

p

2

．（12分）．

點評：本題考查兩點縱坐標的乘積為定值的證明，考查平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．