Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sin（

π

4

-x）•cos（

π

4

-x）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；    
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（3）借助”五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在[0，

7π

8

]上的簡圖，并且依圖寫出函數(shù)f（x）在[0，

7π

8

]上的遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域,五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式，再求出函數(shù)的周期；
（2）由x的范圍求出2x+

π

4

∈[

π

12

，

5π

4

]，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值、最大值，即可求出函數(shù)的值域；
（3）由條件列出表格、再描點連線畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f （x）=sin 2x+sin （

π

2

-2x）
=sin 2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin 2x+

2

2

cos 2x）
=

2

（sin 2x cos 

π

4

+cos 2x sin 

π

4

）
=

2

sin （2x+

π

4

）
∴函數(shù)的周期T=

2π

2

=π     …（4分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

12

，

5π

4

]，
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

時，f（x）取最大值

2

，
當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

時，f（x）取最小值

2

sin

5π

4

=-1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-1，

2

]…（8分）
（3）列表

μ=2x+ π 4	π 8	π 2	π	3π 2	2π
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
y	1	2	0	- 2	0

…（10分）
圖象如右圖所示，注意f（0）=1…（12分）
由圖得，
函數(shù)在區(qū)間[0，

7π

8

]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

8

]，[

5π

8

，

7π

8

]…（14分）

點評：本題考查誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及五點作圖法，屬于中檔題．