斜率為-1的直線過拋物線y2=-2px，（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．
（1）求拋物線的方程．
（2）求∠AOB的余弦值．
考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）AB的方程：y=-x-
p
2
與y2=-2px聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AB|=8，即可求拋物線的方程．
（2）利用向量的數(shù)量積公式，即可求∠AOB的余弦值．
解答： 解：（1）拋物線y2=-2px，（p＞0）的焦點(diǎn)F（-
p
2
，0）
直線AB的方程：y=-x-
p
2

與y2=-2px聯(lián)立，并消去x得，y2-2px-p2=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
則
y1+y2=2p
y1y2=-p2
，
∴|AB|=
1+(
1
-1
)2
•
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
•
4p2+4p2
=4p
又|AB|=8，∴4P=8，p=2
∴拋物線方程為：y2=-4x…（6分）
（2）由（1）知，
y1+y2=4
y1y2=-4
，
OA
=(x1，y1)，
OB
=(x2，y2)，
∴cos＜
OA
，
OB
＞=
OA
•
OB
|
0A
|•|
OB
=
x1x2+y1y2
x12+y12
•
x22+y22
=
y12y22
16
+y1y2
y14
16
+y12
•
y24
16
+y22

=
1-4
y14y24
162
+y12y22+
y14y22+y12y24
16

=
-3
1+16+
y12y22(y12+y22)
16
=
-3
17+(y1+y2)2-2y1y2
 

=
-3
17+16+8
=-
3
41
41
，
∴∠AOB的余弦值為-
3
41
41
…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=16，則輸出x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（1，3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OM
=α
OA
+β
OB
（α+β=1），N（1，0），則|
MN
|的最小值為（　�。�
A、
2
2
B、
3
2
2
C、
9
2
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知2013年2月10日春節(jié)．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進(jìn)入市場(chǎng)銷售，通過市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)測(cè)黃瓜的價(jià)格f（x）（單位：元/kg）與時(shí)間x（x表示距2月10日的天數(shù)，單位：天，x∈（0，8]且x∈N*）的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間x862
價(jià)格f（x）8420
（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：f（x）=
ax+b，f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a•bx，其中a≠0；并求出此函數(shù)；
（Ⅱ）在日常生活中，黃瓜的價(jià)格除了與上市日期相關(guān)，與供給量也密不可分．已知供給量h（x）=
1
3
x-
5
18
（x∈N*）．在供給量的限定下，黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）=f（x）•h（x）．求黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示（單位：人）．
 80及80分以上80分以下合計(jì)
試驗(yàn)班351550
對(duì)照班20m50
合計(jì)5545
（1）求m，n；
（2）你有多大把握認(rèn)為“教學(xué)方式與成績(jī)有關(guān)系”？
參考公式及數(shù)據(jù)：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，
其中n=a+b+c+d為樣本容量．
p（K2≥k）…0.100.050.0250.0100.0050.001…
k…2.7063.8415.0246.6357.87910.828…

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x3-ax2+1，是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[0，
3
3
]上為減函數(shù)，且在區(qū)間（
3
3
，1]上是增函數(shù)？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（
2
cosθ，
2
sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若實(shí)數(shù)m，n滿足m
OA
+n
OB
=2
OC
，求m2+n2；
（2）問原點(diǎn)O能否成為△ABC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1（-2
2
，0），F(xiàn)2（2
2
，0），其上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=4
3
．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的下頂點(diǎn)為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l1：y=x+2與橢圓C的交于A，B兩點(diǎn)，求過O，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)過點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l2交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，試證明：無論k取何值時(shí)，
RM
•
RN
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2-2（a+1）x+a-2，且f（0）=2a，當(dāng)a＞2時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集．

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