Question

(本題滿分13分) 已知函數(shù),函數(shù)

（I）當(dāng)時,求函數(shù)的表達(dá)式;

（II）若,且函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;

（III）對于（II）中所求的a值，若函數(shù)，恰有三個零點(diǎn)，求b的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù).（Ⅱ）。

【解析】

試題分析： （1）先求解函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到第一問的解析式。

（2）∵由⑴知當(dāng)時,,

分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號，進(jìn)而判定極值，得到最值。

（3）

所以，方程，有兩個不等實(shí)根運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來得到。

解: （Ⅰ）∵,

∴當(dāng)時,; 當(dāng)時,

∴當(dāng)時,; 當(dāng)時,.

∴當(dāng)時,函數(shù).  （4分）

（Ⅱ）∵由⑴知當(dāng)時,,

∴當(dāng)時, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.由，得a=1 (8分)

令，得或x=b

（1）若b>1,則當(dāng)0<x<1時，，當(dāng)1<x<b,時，當(dāng)x>b時，；

（2）若b<1,且b則當(dāng)0<x<b時，，當(dāng)b<x<1時，，當(dāng)x>1時，

所以函數(shù)h(x)有三個零點(diǎn)的充要條件為或解得或 

綜合： （13分）

另解：

所以，方程，有兩個不等實(shí)根，且不含零根

解得：  （13分）

考點(diǎn)：本題主要考查了函數(shù)的最值和函數(shù)的零點(diǎn)的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想來判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而分析極值，得到最值，同時對于方程根的問題可以轉(zhuǎn)換為圖像的交點(diǎn)問題解決。