在△ABC中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是
 
．
分析：利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則作出
ON
=
OB
+
OC
，判斷出
ON
，
OM
共線，得到
ON
與
O
A的夾角，利用向量的數(shù)量積公式將
OA
•(
OB
+
OC
)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求出最小值，
解答：解：以O(shè)B和OC做平行四邊形OBNC．
則
ON
=
OB
+
OC

因為M為BC的中點
所以
ON
=2
OM
且
ON
，
OA
反向
∴
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•
ON
=|
OA
||
ON
|cos180°=-|
OA
||
ON
|，
設(shè)OA=x，（0≤x≤2）OM=2-x，ON=4-2x
∴
OA
•(
OB
+
OC
)=-x(4-2x)=2x2-4x（0≤x≤2）
其對稱軸x=1
所以當(dāng)x=1時有最小值-2
故答案為-2
點評：本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、向量的數(shù)量積公式、二次函數(shù)最值的求法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，O為外心，P是平面內(nèi)點，且滿足
OA
+
OB
+
OC
=
OP
，則P是△ABC的（　　）
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，A、B為定點，C為動點，記∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知c=2，且存在常數(shù)λ
（λ＞0），使得abcos2
C2
=λ．
（1）求動點C的軌跡，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點O為坐標(biāo)原點，過點B作直線l與（1）中的曲線交于M，N兩點，若OM⊥ON，試確定λ的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•武漢模擬）在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，O為中線AM上一個動點，若AM=4，則
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是
-8
-8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，O為平面上一定點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

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