證明:函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).
分析:當(dāng)x∈(2,3)時,f′(x)=
1
x
+2>0,利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.
解答:證明:∵x∈(2,3),
∴f′(x)=
1
x
+2>0,
∴函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增,①
又f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,
∴函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),②
由①②得:函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的零點(diǎn),著重考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2,g(x)=x,x∈R,a為實(shí)常數(shù).
(1)若a>0,設(shè)F(x)=
f(x)g(x)
,x≠0,用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù);
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=|g(x)|在R上恰好有三個不相等的實(shí)數(shù)解,求a的值所組成的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57
請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn),完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間
(0,2)
(0,2)
上遞減;并利用單調(diào)性定義證明.函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.當(dāng)x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)定義:對于函數(shù)f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f'(x)對定義域內(nèi)的x恒成立,則稱函數(shù)f(x)為?函數(shù).
(Ⅰ)證明:函數(shù)f(x)=ex1nx為?函數(shù).
(Ⅱ)對于定義域?yàn)椋?,+∞)的?函數(shù)f(x),求證:對于定義域內(nèi)的任意正數(shù)x1,x2,…,xn,均在f(1n(x1+x2+…+xn))>f(1nx1)+f(1nx2).+…+f(1nxn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1-
1
x
,x>0
(a-1)x+1,x≤0

(1)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn).
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