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已知a∈R,函數f(x)=
1-
1
x
,x>0
(a-1)x+1,x≤0

(1)證明:函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
(2)求函數f(x)的零點.
分析:(1)根據漢函數單調性定義進行證明即可.
(2)根據函數零點的定義直接解方程f(x)=0即可得到函數的零點.
解答:解:(1)在(0,+∞)上任取兩個實數x1,x2,且
x
 
1
x2
,
f(x1)-f(x2)=(1-
1
x1
)-(1-
1
x2
)
=
1
x2
-
1
x
 
1
=
x1-x2
x1x2
. 
∵0<x1<x2,
∴x1-x2<0,x1x2>0.
x1-x2
x1x2
<0
,
即f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)<f(x2).
∴函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增. 
(2)(ⅰ)當x>0時,令f(x)=0,
1-
1
x
=0
,
解得x=1>0.
∴x=1是函數f(x)的一個零點.       
(ⅱ)當x≤0時,令f(x)=0,即(a-1)x+1=0.(※)
①當a>1時,由(※)得x=
1
1-a
<0

x=
1
1-a
是函數f(x)的一個零點;     
②當a=1時,方程(※)無解;
③當a<1時,由(※)得x=
1
1-a
>0
,(不合題意,舍去)  
綜上,當a>1時,函數f(x)的零點是1和
1
1-a
;
當a≤1時,函數f(x)的零點是1.
點評:本題主要考查函數單調性的證明以及函數零點的計算,根據定義是解決本題的關鍵,考查學生的運算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a∈R,函數f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a∈R,函數f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對數的底).
(1)當a>0時,求函數f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實數x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

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3x+y=0
3x+y=0

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•浙江)已知a∈R,函數f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當x∈[0,2]時,求|f(x)|的最大值.

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