已知函數(shù)f(x)是定義在R內的可導函數(shù),且f(x)=f (2-x),(x-1)f′(x)<0,若a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3),則a,b,c的大小關系為(  )
分析:由題意得對任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,得到函數(shù)的對稱軸為x=1,所以f(3)=f(-1).由當x∈(-∞,1)時,(x-1)f′(x)<0,得f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞增.比較自變量的大小即可得到函數(shù)值的大。
解答:解:由題意得:對任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,
所以函數(shù)的對稱軸為x=1,所以f(3)=f(-1).
因為(x-1)f′(x)<0,
所以當x∈(-∞,1)時,f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞增.
因為-1<0<
1
2
,
所以f(-1)<f(0)<f(
1
2
),即f(3)<f(0)<f(
1
2
),
所以c<a<b.
故選D.
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的性質如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等,函數(shù)的性質一直是各種考試考查的重點內容.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點,且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項和.求Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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