【題目】已知函數(shù),
,其導(dǎo)函數(shù)為
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,關(guān)于
的不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
,
,求證:
.
【答案】(1)見解析;(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論
和
兩種情況,得到答案.
(2),設(shè)
,求導(dǎo)得到單調(diào)性得到
,得到答案.
(3)要證,即
,構(gòu)造函數(shù)
,證明函數(shù)單調(diào)遞減,得到
,根據(jù)單調(diào)性得到答案.
(1),
,
當(dāng)時(shí),
恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
,故
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
綜上所述:時(shí),函數(shù)在R上單調(diào)遞增,
時(shí),函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
(2),即
,設(shè)
,
則
設(shè),則
在
上恒成立,故
單調(diào)遞增,
故,故
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
故,故
.
(3),故
,
,相加得到
.
要證,即證
,即
.
,即
,設(shè)
,則
,
函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
函數(shù)圖像如圖所示:故取,
構(gòu)造函數(shù),
,
,
,函數(shù)在
上單調(diào)遞減,故
,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)單調(diào)遞減,
,故
.
即,即
,
,
,函數(shù)單調(diào)遞增,
故,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況,分別在高一和高二兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.
(I)將頻率視為概率,估計(jì)哪個(gè)年級的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大?請說明理由.
(II)在高二的抽查中,已知隨機(jī)抽到的女生共有55名,其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?
非手機(jī)迷 | 手機(jī)迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
附:隨機(jī)變量(其中
為樣本總量).
參考數(shù)據(jù) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
span>2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間
(
為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在(
為自然對數(shù)的底數(shù))上存在一點(diǎn)
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發(fā)以來,人們時(shí)刻關(guān)注疫情,特別是治愈率,治愈率累計(jì)治愈人數(shù)/累計(jì)確診人數(shù),治愈率的高低是“戰(zhàn)役”的重要數(shù)據(jù),由于確診和治愈人數(shù)在不斷變化,那么人們就非常關(guān)心第
天的治愈率,以此與之前的治愈率比較,來推斷在這次“戰(zhàn)役”中是否有了更加有效的手段,下面是一段計(jì)算治愈率的程序框圖,請同學(xué)們選出正確的選項(xiàng),分別填入①②兩處,完成程序框圖.( )
:第
天新增確診人數(shù);
:第
天新增治愈人數(shù);
:第
天治愈率
A.,
B.
,
C.,
D.
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,
側(cè)面
,已知
,
,
,點(diǎn)
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn)
,使得
與平面
所成角的正弦值為
,若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線
的距離比到點(diǎn)
的距離大
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)為
上兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),
,過
分別作
的兩條切線,相交于點(diǎn)
,求
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小姜同學(xué)有兩個(gè)盒子和
,最初盒子
有6枚硬幣,盒子
是空的.在每一回合中,她可以將一枚硬幣從
盒移到
盒,或者從
盒移走
枚硬幣,其中
是
盒中當(dāng)前的硬幣數(shù).當(dāng)
盒空時(shí)她獲勝.則小姜可以獲勝的最少回合是( )
A.三回合B.四回合C.五回合D.六回合
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
為直線
的傾斜角),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程,并求
時(shí)直線
的普通方程;
(2)直線和曲線
交于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)
的直角坐標(biāo)為
,求
的最大值.
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