Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足，且a_n＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）令b_n=20-a_n，試求數(shù)列{b_n}的前多少項的和最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)，知a₁=1，當(dāng)n=2時，有，知a₁=3．當(dāng)n≥2時，，由此能求出a_n．
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，則b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．所以{b_n}是遞減數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的前10項和最大．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時，有，∴a₁=1
當(dāng)n=2時，有，∴a₁=3
當(dāng)n≥2時，有
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，則b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．
∴{b_n}是遞減數(shù)列，
令，
∴n=10，即數(shù)列{b_n}的前10項和最大．
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．