Question

已知函數(shù)，，．

（1）當，時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù)的圖象在點、兩處的切線分別為、．若，，且，求實數(shù)的最小值．

Answer 1

解：函數(shù)，求導得．

（1）當，時，，

若，則恒成立，所以在上單調減；

若，則，令，解得或（舍），

當時，，在上單調減；

當時，，在上單調增．

所以函數(shù)的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是．  ………………4分

（2）當，時，，而，所以

當時，，在上單調減；

當時，，在上單調增．

所以函數(shù)在上的最小值為，

所以恒成立，解得或，

又由，得，所以實數(shù)的取值范圍是．  ……………9分

（3）由知，，而，則，

若，則，所以，

解得，不符合題意；                       ……………………………11分

故，則，

整理得，，由得，，         …………………………13分

令，則，，所以，

設，則，

當時，，在上單調減；

當時，，在上單調增．

所以，函數(shù)的最小值為，故實數(shù)的最小值為． ……16分